問1．背理法を用いて次のことを証明せよ．

問1．

(1)
\(\sqrt{2}+1\) が有理数であると仮定する．
このとき 有理数 \(a\) を用いて，\(\sqrt{2}+1=a \) と書ける．
\(1\) を移行すると \(\sqrt{2}=a-1\) となる．
ここで，\(a\) は有理数であるから右辺 \(a-1\) は有理数である．
しかし，\(\sqrt{2}\) は有理数であるから矛盾する．
よって \(\sqrt{2}+1\) は無理数である．

(2)
\(\sqrt{5}\) が有理数であると仮定する．
このとき \(\sqrt{5}\) は互いに素である整数 \(a\) ，\(b\) を用いて，\(\displaystyle \sqrt{5} = \frac{a}{b} \) と書ける．
ここで，両辺を2乗して \(b^2\) をかけると
\(5b^2=a^2\)
となる．
ここで，左辺は5の倍数であるから右辺の \(a^2\) も5の倍数である．ゆえに \(a=5c\) と書ける．
よって \(5b^2=a^2=(5c)^2=25c^2\) より，\(b^2=5c^2\) となる．
右辺が5の倍数であるから左辺も5の倍数になる．ゆえに \(b=5d\) と書ける．
ここで， \(a=5c\) ，\(b=5d\) と表せ，ともに5の倍数になった．しかし，\(a\) ，\(b\) は互いに素であるから，矛盾する．
よって \(\sqrt{5}\) が無理数である．