(1) $x=1$ かつ $y=2$ ならば $x+y=3$ である．

(2) $a$ が無理数かつ $b$ が無理数ならば $a+b$ は無理数である．

(3) $a$ が無理数かつ $b$ が無理数ならば $ab$ は無理数である．

(4) $x+y=0$ ならば $x=0$ かつ $y=0$ である

(5) $|x|+|y|=0$ ならば $x=0$ かつ $y=0$ である

問2．問1の各命題について，その逆，裏，対偶とその真偽を答えよ．偽の場合はその反例を答えよ．

問3．問1の結論は必要条件，十分条件，必要十分条件，あるいはそのどちらでもないか答えよ．

(1) 逆　　$x+y=3$ ならば $x=1$ かつ $y=2$ ，
　　　　 偽，反例：$x=2，y=1$
　 裏　　$x \neq 1$ または $y \neq 2$ ならば $x+y \neq 3$，
　　　　 偽，反例：$x=2，y=1$
　 対偶　$x+y \neq 3$ ならば $x \neq 1$または $y \neq 2$ ，真

(2) 逆　　$a+b$ が無理数ならば $a$ が無理数かつ $b$ が無理数，
　　　　 偽，反例：$a=\pi，b=0$
　 裏　　$a$ が有理数または $b$ が有理数ならば $a+b$ は有理数，
　　　　 偽，反例：$a=\pi，b=0$
　 対偶　$a+b$ は有理数ならば $a$ が有理数または $b$ が有理数，
　　　　 偽，反例：$a=\pi，b=-\pi$

(3) 逆　　$ab$ が無理数ならば $a$ が無理数かつ $b$ が無理数，
　　　　 偽，反例：$a=\sqrt{2}，b=0$
　 裏　　$a$ が有理数または $b$ が有理数ならば $ab$ は有理数，
　　　　 偽，反例：$a=\sqrt{2}，b=0$
　 対偶　$ab$ が有理数ならば $a$ が有理数または $b$ が有理数，
　　　　 偽，反例：$a=b=\sqrt{2}$

(4) 逆　　$x=0$ かつ $y=0$ ならば $x+y=0$ ，真
　 裏　　$x+y \neq 0$ ならば $x \neq 0$ または $y \neq 0$ ，真
　 対偶　$x \neq 0$ または $y \neq 0$ ならば $x+y \neq 0$ ，偽，
　　　　 反例：$x=0，y=1$

(5) 逆　　$x=0$ かつ $y=0$ ならば $|x|+|y|=0$ ，真
　 裏　　$|x|+|y| \neq 0$ ならば $x \neq 0$ または $y \neq 0$ ，真
　 対偶　$x \neq 0$ または $y \neq 0$ ならば $|x|+|y| \neq 0$ ，真

反例は他にもあるのでここに示したもの以外でもかまいません．