問

$0. \dot{1} 2 \dot{3}$を分数で表せ．

解法

1. まず$x=0.123123\cdots$とします．

2. 次にxを10倍あるいは100倍などして循環している部分の桁がそろうようにします．
   今回の場合は1000倍します．すると$1000x=123.123123\cdots$となります．小数点以下の123の並びがそろってくれました．

3. 続いてこれを引き算してあげます．
   下のように筆算すると見やすいです．
   そうするときれいに小数点以下がすべて消えてくれました．（このために1000倍しました）

4. 最後に式変形して$x=$のかたちに直してあげれば終了です．
   $$\begin{align} 999x &= 123 \\ x &= \frac{123}{999} \\ &=\frac{41}{333} \end{align}$$

1. $\boldsymbol{(\sqrt{a})^2=|a|}$

2. $\boldsymbol{\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}}$

3. $\boldsymbol{\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}}$

4. $\boldsymbol{\sqrt{t^2a}=t\sqrt{a}}$

解法

1. 内側の根号の係数を2にする．
   $\sqrt{2-\sqrt{3}}$では無理やり分母に2をもってくることで係数を2にします．
   $\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}$
   
   もし$\sqrt{6+4\sqrt{2}}$のような場合は
   $\displaystyle \sqrt{6+4\sqrt{2}}=\sqrt{6+2\times 2\sqrt{2}}=\sqrt{6+2\sqrt{2^2\times 2}}=\sqrt{6+2\sqrt{8}}$
   として係数を2にしましょう．

2. $\sqrt{a+\sqrt{b}}$で足し $a$ ，かけて$b$ になる組合わせを考える．
   $\sqrt{2-\sqrt{3}}$の場合，$\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}$に注目して，たして4，かけて3になる数を考えます．
   すると1と3の組合わせが出てきます．

3. 今出てきた1と3を使うと$2-\sqrt{3}=(\sqrt{3}-\sqrt{1})^2=(\sqrt{3}-1)^2$と書けます．実際に正しいか展開して確認してみてください．
   
4. これをもとの式に代入して計算していきます．
   $$\begin{align} \sqrt{2-\sqrt{3}}&=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}\\ &=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}}\\ &=\frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt2}\\ &=\frac{|\sqrt{3}-1|}{\sqrt{2}} \\ &=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} \end{align}$$
   ここで，下から2行目で絶対値にするのを絶対に忘れないでください！

以上で終了です

問1．次の数を有理数であるか無理数であるか答えなさい．

問2．次の小数を分数で表しなさい．

問3．次の式を計算せよ．

問4．次の式を簡単にせよ．

問1．

問2．

問3．

問4．