不等式とは\(<，>，≦，≧ \)が含まれた式のことです．この単元ではこれらの記号が含まれた式について扱っていきます．
\(<，>，≦，≧ \)の記号の意味を説明しておきます．
- \(a<b\) \(a\)が\(b\)より小さい（\(a=b\)は含まない）
- \(a>b\) \(a\)が\(b\)より大きい（\(a=b\)は含まない）
- \(a≦b\) \(a\)が\(b\)以下である（\(a=b\)は含む）
- \(a≧b\) \(a\)が\(b\)以上である（\(a=b\)は含む）
不等式には以下の関係が成り立ちます．
公式
- \(a<b\)のとき \(\boldsymbol{a+c<b+c}\)
- \(a<b，c>0\)のとき \(\boldsymbol{ac<bc，\displaystyle \frac{a}{c}<\frac{b}{c}}\)
- \(a<b，c<0\)のとき \(\boldsymbol{ac>bc，\displaystyle \frac{a}{c}>\frac{b}{c}}\)
文字で表されると少しわかりにくいと思うので，例題で確認して見てください．
不等式の計算問題に入る前に，数直線の使い方と意味をおさらいしておきます．この単元でとても重要になってくるので，しっかり確認しておきましょう．
数直線上で値の範囲を示すとき下の様な書き方をします．
端の値を含むときはその値の位置から真上に，含まないときは斜めに線を書いてそこから横に伸ばしていきます．また含むときは●，含まないときは○を数直線上に書きます．また，範囲内の部分には斜線を書きます．
続いて，不等式の解き方を解説します．基本的にやり方は方程式と一緒です．
問
(1) \(2x-3<1\)，(2) \(-3x+1<7\) を解け
解法
最終的に\(x<\)や\(x≧\)のような形になるように式を変形します．
(1)
まず\(-3\)を右辺に移項します．
すると \(2x<4\)になります．
次に両辺を\(2\)でわって\(x<2\)になります．これで終了です．
(2)
まずは\(1\)を右辺に移項します．
すると\(-3x<6\)になります．
次に両辺を\(-3\)で割ります．このとき注意が必要です．マイナスの数で割るときは不等号の向きが逆になります．
すると\(x>-2\)になります．これで終了です．
上の例のように両辺に正の数をかけたり，割ったりするとき不等号はそのまま，負の数のときは不等号を逆向きにすることを忘れないでください！
このような\(x\)について1次式になる不等式を1次不等式と呼びます．
続いて，連立不等式です．
連立不等式は複数の不等式が組み合わせられたものです．次の例で考えてみましょう．
問
次の連立不等式を解け．
\begin{cases} 2x + 1 ＞ 7 \\ 3x -2 ＜ 19 \end{cases}
解法
- まずは，2つの不等式を解いてあげます．
上の不等式は\(x>3\)，下の不等式は\(x<7\)と求まります． - 次にこの2つの不等式をドッキングします．
このとき，数直線上で考えてあげると良いでしょう．
数直線上で重なっている部分が今回求める範囲になります．
なので，今回の答えは\(3 < x < 7\)です．
では次に，方程式や不等式に絶対値が含まれる場合を考えます．
絶対値が含まれる場合は次の通り計算します．
- \(\boldsymbol{|x|=a}\) \(\boldsymbol{x=\pm a}\)
- \(\boldsymbol{|x|<a}\) \(\boldsymbol{-a<x<a}\)
- \(\boldsymbol{|x>a|}\) \(\boldsymbol{x<-a，a<x}\)
絶対値が含まれる方程式，不等式の解き方はこの3パターンだけです．これさえできればどんな不等式も解けます．
ここからは少し難しくなります．
\(ax<3\)と\(|x+2|>2x\)という2つの問題を考えましょう．1つ目の問題では\(a\)が正の数か負の数かが分かりません．ですので，それぞれ区別して考えなければなりません．このように異なる場合を考えることを場合分けといいます．2つ目の問題でも同じように場合分けが必要になります．
この2つの問題の解き方を解説していきます．
解法
- \(ax>3\)
(1) \(a>0\)のとき 両辺を\(a\)で割って\(\displaystyle x>\frac{3}{a}\)
(2) \(a=0\)のとき \(0 \cdot x > 3\)となり成り立たない
(3)\(a<3\)のとき 両辺を\(a\)で割って\(\displaystyle x<\frac{3}{a}\)
以上より答えは
\begin{cases}\displaystyle x>\frac{3}{a} \qquad (a > 0 のとき) \\
\displaystyle x<\frac{3}{a} \qquad (a < 0 のとき) \end{cases}
- \(|x+2|<2x\)
\(x+2\)の正負で場合分けをします．ただし，\(|x+2|\)が0以上であることに注意します．
(1)\(x+2≧0\)すなわち\(x≧-2\)のとき
\begin{align}
|x+2|&<2x \\
x+2&<2x \\
x&>2
\end{align}
ここで，\(x≧-2\)という条件であったから，この条件下で\(x>2\)を満たす範囲は\(x>2\)
\(0≦|x+2|≦2x\)より\(0≦2x\)であるはずであるが\(x>2\)はこれを満たす．
(2)\(x+2<0\)すなわち\(x<-2\)のとき
\begin{align}
|x+2|&<2x \\
-(x+2)&<2x \\
x&>-2
\end{align}
ここで，\(x<-2\)という条件であったから，この条件下で\(x>-2\)を満たすことはない．
以上より答えは\(x>2\)
2つ目の問題では絶対値が0以上であることから右辺も0以上になるはずです．その点もちゃんと調べてあげなければなりません．少し細かくて面倒ですが，しっかりチェックするようにしましょう．
ではここまでの内容を例題で確認してみましょう．
例題
問1．次の内容を不等式で表せ．
(1) \(a\)の3倍は\(b\)に\(1\)を加えた値よりも大きい
(2) \(a\)と\(b\)の和は\(c\)以下である
(3) \(a\)の\(2\)倍に\(3\)を加えた値は\(b\)と\(c\)の和の2倍以上である
問2．次の不等式を解いて範囲を数直線上に表しなさい．
(1) \( x+2>5 \)
(2) \( 3x-1≧2 \)
(3) \(2x+9<x+12\)
(4) \( -x+5≦11\)
問3．次の連立方程式を解け．
(1)
\begin{cases}
x + 6 ＞ 7 \\
x -3 ＜ 7
\end{cases}
(2)
\begin{cases}
2x + 2 ＞ x-5 \\
5x -10 ＜ 2x-7
\end{cases}
問4．次の式を解け．
(1) \(|x|=5\)
(2) \(|x+1|=5\)
(3) \(|x|>3\)
(4) \(|x-1|<1\)
問5．\(|3x-1|<2x\)を解け．
解答
問1．
(1) \(3a>b+1\)
(2) \(a+b≦c\)
(3) \(2a+3≧2(b+c)\)
問2．
問3．
問4．
問5．
