ここでは\(_nC_r = _nC_{n-r}\)，\(_nC_r = _{n-1}C_{r-1}+_{n-1}C_r\)の証明をしていきます．
このページについては飛ばしていただいてもかまいません．
ではまず\(_nC_r = _nC_{n-r}\)の証明です．
\begin{align}
_nC_r &= \frac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r(r-1)\cdot1}
\end{align}
ここで\(r≧n-r+1\)のときは\(r(r-1)\cdots(n-r+1)\)で約分，
\(r≦n-r+1\)のときは\(\displaystyle \frac{(n-r)(n-r-1)\cdots(r+1)}{(n-r)(n-r-1)\cdots(r+1)}\)をかけると
\begin{align}
\frac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r(r-1)\cdot1} &= \frac{n(n-1)\cdots (r+1)}{(n-r)(n-r-1)\cdots1} \\
&= \frac{n(n-1)\cdots \{n-(n-r)+1\}}{(n-r)(n-r-1)\cdots1} \\
&= _nC_{n-r}
\end{align}
よって\(_nC_r = _nC_{n-r}\)
次に\(_nC_r = _{n-1}C_{r-1}+_{n-1}C_r\)の証明です．
\begin{align}
&_{n-1}C_{r-1}+_{n-1}C_r \\
=& \frac{(n-1)(n-2)\cdots \{(n-1)-(r-1)+1\} }{(r-1)(r-2)\cdots1} + \frac{(n-1)(n-2)\cdots \{(n-1)-r+1\} }{r(r-1)\cdots1}
\end{align}
通分して共通因数でくくると
\begin{align}
& \frac{(n-1)(n-2)\cdots \{(n-1)-(r-1)+1\} }{(r-1)(r-2)\cdots1} + \frac{(n-1)(n-2)\cdots \{(n-1)-r+1\} }{r(r-1)\cdots1}\\
=& \frac{(n-1)(n-2)\cdots \{(n-1)-(r-1)+1\}r}{r(r-1)(r-2)\cdots1} + \frac{(n-1)(n-2)\cdots \{(n-1)-r+1\} }{r(r-1)\cdots1} \\
=& \frac{(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)r}{r(r-1)(r-2)\cdots1} + \frac{(n-1)(n-2)\cdots (n-r) }{r(r-1)\cdots1} \\
=& \frac{(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)\{r+(n-r)\}}{r(r-1)(r-2)\cdots1} \\
=& \frac{(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)n}{r(r-1)(r-2)\cdots1} \\
=& \frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)}{r(r-1)(r-2)\cdots1} \\
=& _nC_r
\end{align}
よって\(_nC_r = _{n-1}C_{r-1}+_{n-1}C_r\)
どちらも定義式を式変形していけば証明できます．
余裕があれば自分でも計算してみてください．