問1．背理法を用いて次のことを証明せよ．

問1．

(1)
$\sqrt{2}+1$ が有理数であると仮定する．
このとき 有理数 $a$ を用いて，$\sqrt{2}+1=a$ と書ける．
$1$ を移行すると $\sqrt{2}=a-1$ となる．
ここで，$a$ は有理数であるから右辺 $a-1$ は有理数である．
しかし，$\sqrt{2}$ は有理数であるから矛盾する．
よって $\sqrt{2}+1$ は無理数である．

(2)
$\sqrt{5}$ が有理数であると仮定する．
このとき $\sqrt{5}$ は互いに素である整数 $a$ ，$b$ を用いて，$\displaystyle \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ と書ける．
ここで，両辺を2乗して $b^2$ をかけると
$5b^2=a^2$
となる．
ここで，左辺は5の倍数であるから右辺の $a^2$ も5の倍数である．ゆえに $a=5c$ と書ける．
よって $5b^2=a^2=(5c)^2=25c^2$ より，$b^2=5c^2$ となる．
右辺が5の倍数であるから左辺も5の倍数になる．ゆえに $b=5d$ と書ける．
ここで， $a=5c$ ，$b=5d$ と表せ，ともに5の倍数になった．しかし，$a$ ，$b$ は互いに素であるから，矛盾する．
よって $\sqrt{5}$ が無理数である．