(1) \(x=1\) かつ \(y=2\) ならば \(x+y=3\) である．

(2) \(a\) が無理数かつ \(b\) が無理数ならば \(a+b\) は無理数である．

(3) \(a\) が無理数かつ \(b\) が無理数ならば \(ab\) は無理数である．

(4) \(x+y=0\) ならば \(x=0\) かつ \(y=0\) である

(5) \(|x|+|y|=0\) ならば \(x=0\) かつ \(y=0\) である

問2．問1の各命題について，その逆，裏，対偶とその真偽を答えよ．偽の場合はその反例を答えよ．

問3．問1の結論は必要条件，十分条件，必要十分条件，あるいはそのどちらでもないか答えよ．

(1) 逆　　\(x+y=3\) ならば \(x=1\) かつ \(y=2\) ，
　　　　 偽，反例：\(x=2，y=1\)
　 裏　　\(x \neq 1\) または \(y \neq 2\) ならば \(x+y \neq 3\)，
　　　　 偽，反例：\(x=2，y=1\)
　 対偶　\(x+y \neq 3\) ならば \(x \neq 1\)または \(y \neq 2\) ，真

(2) 逆　　\(a+b\) が無理数ならば \(a\) が無理数かつ \(b\) が無理数，
　　　　 偽，反例：\(a=\pi，b=0\)
　 裏　　\(a\) が有理数または \(b\) が有理数ならば \(a+b\) は有理数，
　　　　 偽，反例：\(a=\pi，b=0\)
　 対偶　\(a+b\) は有理数ならば \(a\) が有理数または \(b\) が有理数，
　　　　 偽，反例：\(a=\pi，b=-\pi\)

(3) 逆　　\(ab\) が無理数ならば \(a\) が無理数かつ \(b\) が無理数，
　　　　 偽，反例：\(a=\sqrt{2}，b=0\)
　 裏　　\(a\) が有理数または \(b\) が有理数ならば \(ab\) は有理数，
　　　　 偽，反例：\(a=\sqrt{2}，b=0\)
　 対偶　\(ab\) が有理数ならば \(a\) が有理数または \(b\) が有理数，
　　　　 偽，反例：\(a=b=\sqrt{2}\)

(4) 逆　　\(x=0\) かつ \(y=0\) ならば \(x+y=0\) ，真
　 裏　　\(x+y \neq 0\) ならば \(x \neq 0\) または \(y \neq 0\) ，真
　 対偶　\(x \neq 0\) または \(y \neq 0\) ならば \(x+y \neq 0\) ，偽，
　　　　 反例：\(x=0，y=1\)

(5) 逆　　\(x=0\) かつ \(y=0\) ならば \(|x|+|y|=0\) ，真
　 裏　　\(|x|+|y| \neq 0\) ならば \(x \neq 0\) または \(y \neq 0\) ，真
　 対偶　\(x \neq 0\) または \(y \neq 0\) ならば \(|x|+|y| \neq 0\) ，真

反例は他にもあるのでここに示したもの以外でもかまいません．