問

\(0. \dot{1} 2 \dot{3}\)を分数で表せ．

解法

1. まず\(x=0.123123\cdots\)とします．

2. 次にxを10倍あるいは100倍などして循環している部分の桁がそろうようにします．
   今回の場合は1000倍します．すると\(1000x=123.123123\cdots\)となります．小数点以下の123の並びがそろってくれました．

3. 続いてこれを引き算してあげます．
   下のように筆算すると見やすいです．
   そうするときれいに小数点以下がすべて消えてくれました．（このために1000倍しました）

4. 最後に式変形して\(x=\)のかたちに直してあげれば終了です．
   \begin{align}
   999x &= 123 \\
   x &= \frac{123}{999} \\
   &=\frac{41}{333}
   \end{align}

1. \(\boldsymbol{(\sqrt{a})^2=|a|}\)

2. \(\boldsymbol{\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}}\)

3. \(\boldsymbol{\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}}\)

4. \(\boldsymbol{\sqrt{t^2a}=t\sqrt{a}}\)

解法

1. 内側の根号の係数を2にする．
   \(\sqrt{2-\sqrt{3}}\)では無理やり分母に2をもってくることで係数を2にします．
   \(\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}\)
   
   もし\(\sqrt{6+4\sqrt{2}}\)のような場合は
   \(\displaystyle \sqrt{6+4\sqrt{2}}=\sqrt{6+2\times 2\sqrt{2}}=\sqrt{6+2\sqrt{2^2\times 2}}=\sqrt{6+2\sqrt{8}}\)
   として係数を2にしましょう．

2. \(\sqrt{a+\sqrt{b}}\)で足し \(a\) ，かけて\(b\) になる組合わせを考える．
   \(\sqrt{2-\sqrt{3}}\)の場合，\(\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}\)に注目して，たして4，かけて3になる数を考えます．
   すると1と3の組合わせが出てきます．

3. 今出てきた1と3を使うと\(2-\sqrt{3}=(\sqrt{3}-\sqrt{1})^2=(\sqrt{3}-1)^2\)と書けます．実際に正しいか展開して確認してみてください．
   
4. これをもとの式に代入して計算していきます．
   \begin{align}
   \sqrt{2-\sqrt{3}}&=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}\\
   &=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}}\\
   &=\frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt2}\\
   &=\frac{|\sqrt{3}-1|}{\sqrt{2}} \\
   &=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}
   \end{align}
   ここで，下から2行目で絶対値にするのを絶対に忘れないでください！

以上で終了です

問1．次の数を有理数であるか無理数であるか答えなさい．

問2．次の小数を分数で表しなさい．

問3．次の式を計算せよ．

問4．次の式を簡単にせよ．

問1．

問2．

問3．

問4．